Инфопортал
Назад

Мат ожидание онлайн калькулятор

Опубликовано: 01.04.2020
0
10

Классификация показателей вариации

  1. К абсолютным показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Вторая группа показателей вычисляется, как отношение абсолютных показателей к средней арифметической (медиане).
  2. Относительными показателями вариации являются коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение и др.
Показатель Формула
Средняя арифметическая простая
Средняя арифметическая взвешенная Средняя арифметическая взвешенная
Средняя гармоническая простая Средняя гармоническая простая
Средняя гармоническая взвешенная Средняя гармоническая взвешенная
Мода Мода в статистике
Медиана Медиана
Размах вариации R=Xmax-Xmin
Среднее линейное отклонение ; Среднее линейное отклонение
Дисперсия ; Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Коэффициент вариации Коэффициент вариации
Коэффициент осцилляции Коэффициент осцилляции
Линейный коэффициент вариации Линейный коэффициент вариации

Основная информация

Числовые характеристики дискретной случайной величины $X$, которые обычно требуется находить в учебных задачах по теории вероятностей, это математическое ожидание $M(X)$, дисперсия $D(X)$ и среднее квадратическое отклонение $sigma(X)$.

$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2.
$$
$$
sigma(X) = sqrt{D(X)}.
$$

Подробные формулы и примеры расчета вы найдете по ссылкам в предыдущем абзаце, в этом же разделе вы сможете автоматически и бесплатно рассчитать эти значения с помощью онлайн-калькулятора, который даст не только ответ, но и продемонстрирует процесс вычисления.

Числовые характеристики вариационного ряда

Числовые характеристики вариационных рядов вычисляют по данным, полученным в результате наблюдений (статистическим данным), поэтому их называют также статистическими характеристиками или оценками. На практике часто оказывается достаточным знание сводных характеристик вариационных рядов: средних или характеристик положения (центральной тенденции); характеристик рассеяния или вариации (изменчивости); характеристик формы (асимметрии и крутости распределения).
Самой известной и наиболее употребляемой характеристикой любого вариационного ряда является его средняя арифметическая, называемая также . Средняя арифметическая характеризует значения признака, вокруг которого концентрируются наблюдения, т.е. центральную тенденцию распределения. В статистическом анализе кроме средней арифметической, называемой аналитической средней, широко применяют структурные, или порядковые, средние, к которым относятся медиана и мода.
Достоинство как меры центральной тенденции заключается в том, что на нее не влияет изменение крайних членов вариационного ряда, если любой из них, меньший медианы, остается меньше ее, а любой, больший медианы, продолжает быть большее ее. Медиана предпочтительнее средней арифметической для ряда, у которого крайние варианты по сравнению с остальными оказались чрезмерно большими или малыми. Особенность как меры центральной тенденции заключается в том, что она также не изменяется при изменении крайних членов ряда, т.е. обладает определенной устойчивостью к вариации признака.

  • Введите число значений случайной величины К.
  • Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -1.5 или 10.558). Введите нужные значения (убедитесь, что сумма вероятностей равна единице, то есть закон распределения задан верно).
  • Нажмите на кнопку “Вычислить”.
  • Калькулятор покажет процесс вычисления математического ожидания $M(X)$, дисперсии $D(X)$ и СКО $sigma(X)$.
  • Нужны еще расчеты? Вводите новые числа и нажимайте на кнопку.

Относительные показатели вариации

Рассмотрим показатели вариации, приведенные в относительных величинах. Базой для сравнения должна служить средняя арифметическая. Чаще всего относительные показатели выражаются в процентах и определяют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % (для распределений, близких к нормальному).
Различают следующие относительные показатели вариации (V):
Коэффициент осцилляции (V

Линейный коэффициент вариации (V):
.
Коэффициент вариации (Vσ): .

Таблица – Числовые характеристики вариационного ряда

Характеристики положения Среднее арифметическое (выборочное среднее)
Мода Mo = xj, если mj = mmax
Медиана Me = xk 1, если n = 2k 1;
Me = (xk xk 1)/2, если n = 2k
Характеристики рассеяния Выборочная дисперсия
Выборочное среднее квадратичное отклонение
Исправленная дисперсия
Исправленное среднее квадратичное отклонение
Коэффициент вариации
Среднее абсолютное отклонение
Вариационный размах R = xmax – xmin
Квартильный размах RQ = Qв – Qн
Характеристики формы Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса

Для получения полного представления о вариационном ряде (определив центральную тенденцию распределения с помощью характеристик положения) далее оценивают рассеяние (вариацию, изменчивость) исследуемого признака вокруг этих величин. Простейшим и, весьма приближенным показателем вариации (изменчивости), является вариационный . Размах вариации наиболее полезен, если нужен быстрый и общий взгляд на изменчивость при сравнении большого количества выборок.
Но наибольший интерес представляют меры вариации (рассеяния) наблюдений вокруг средних величин, в частности, вокруг средней арифметической. К таким оценкам относятся . Выборочная дисперсия обладает одним существенным недостатком: если среднее арифметическое выражается в тех же единицах, что и значения случайной величины, то, согласно определению, дисперсия выражается уже в квадратных единицах. Этого недостатка можно избежать, если использовать в качестве меры вариации признака среднее квадратичное отклонение. При малых объемах выборки дисперсия является смещенной оценкой, поэтому при объемах используют Другой часто используемой характеристикой меры рассеяния признака является . Достоинством коэффициента вариации является то, что это безразмерная характеристика, позволяющая сравнивать варьирование несоизмеримых вариационных рядов. Кроме того, чем меньше значение коэффициента вариации, тем однороднее совокупность по изучаемому признаку и типичнее средняя. Совокупности с коэффициентом вариации > 30-35% принято считать неоднородными.
Наряду с дисперсией используют и . Достоинством среднего линейного отклонения является его размерность, т.к. выражается в тех же единицах, что и значения случайной величины. Дополнительным и простым показателем рассеяния значений признака является Квартильный размах включает в себя медиану и 50% наблюдений, отражающих центральную тенденцию признака, исключая наименьшие и наибольшие значения.
К характеристикам формы относят коэффициент асимметрии и эксцесс. Если равен нулю, то распределение имеет симметричную форму. Если распределение асимметрично, одна из ветвей полигона частот имеет более пологий спуск, чем другая. Если асимметрия правосторонняя, то справедливо неравенство: > Me > Mo, что означает преимущественное появление в распределении более высоких значений признака. Если асимметрия левосторонняя, то выполняется неравенство: < Me < Mo, означающее, что в распределении чаще встречаются более низкие значения. Чем больше значение коэффициента асимметрии, тем более асимметрично распределение (до 0,25 асимметрия незначительная; от 0,25 до 0,5 умеренная; свыше 0,5 – существенная).
является показателем крутости (островершинности) вариационного ряда по сравнению с нормальным распределением. Если эксцесс положителен, то полигон вариационного ряда имеет более крутую вершину. Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественном появлении в данных значений, близких к средней величине. Если эксцесс отрицателен – то полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от минимального до максимального значения. Чем больше абсолютная величина эксцесса, тем существеннее распределение отличается от нормального.

Группы поселков с числом жителей, тыс. чел До 3 3-5 5-10 10-15 15 и более Итого
Число поселков 26 25 35 11 13 100

Определить по табличным данным средние показатели интервального ряда распределения: среднее значение, моду, медиану расчетным путем и графически. Расчетным путем определить показатели вариации: размах вариации, дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации. По всем расчетам сделать выводы.

Решение. В разделе «Вид статистического ряда» выбираем Интервальный ряд (рис. 1).
Рисунок 1 – Вид статистического ряда

2. Поскольку в задании пять исходных строк (столбцов), то в поле Количество строк указываем 5. Нажимаем кнопку Далее.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики об СКО

На закуску для продвинутых – какие формулы вычисления СКО для выборок бывают и для чего подходят.

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Полезные ссылки

Расчет показателей вариации

Размах вариации
R = 66.39923 – 32.11189 = 34.29
Среднее линейное отклонение
Каждое значение ряда отличается от другого не более, чем на 6.26
Дисперсия
Несмещенная оценка дисперсии.
Среднее квадратическое отклонение.
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 51.91 не более, чем на 7.48
Оценка среднеквадратического отклонения.
Коэффициент вариации
Поскольку v<30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.
Коэффициент осцилляции
Относительное линейное отклонение
Относительный показатель квартильной вариации
Степень асимметрии
Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой.
Отрицательный знак свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии
Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.
Ex > 0 – островершинное распределение
Доверительный интервал для генерального среднего
Поскольку n>30, то определяем значение t по таблицам функции Лапласа
В этом случае 2Ф(t) = 1 – γ
) = (1 – γ)/2 = 0.954/2 = 0.477
По таблице функции Лапласа найдем, при каком t значение Ф(t) = 0.477
(γ) = (0.477) = 2
(51.91 – 2.13;51.91 2.13) = (49.77789;54.03789)
С вероятностью 0.954 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
Вероятность выхода за нижнюю границу равна 0.05 / 2 = 0.025. Для количества степеней свободы k = 49, по таблице распределения хи-квадрат находим:
(49) = 46.97924
Случайная ошибка дисперсии:
(57.05 – 7,87; 57.05 7,87)
(49.18; 64.92)
Доверительный интервал для генеральной доли.
В этом случае 2Ф(t) = 1 – γ
значение Ф(t) = 0.477
(γ) = (0.477) = 2

Доля i-ой группы fi / ∑f Средняя ошибка выборки для генеральной доли, ε Нижняя граница доли, p* ε Верхняя граница доли, p* ε
0.02 0.0002 0.0398
0.1 0.0576 0.14
0.12 0.074 0.17
0.24 0.18 0.3
0.22 0.16 0.28
0.2 0.14 0.26
0.1 0.0576 0.14

С вероятностью 0.954 при большем объеме выборке эти доли будут находиться в заданных интервалах.
1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по с помощью критерия согласия Пирсона.
— вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону
Для вычисления вероятностей p применим формулу и таблицу функции Лапласа

Интервалы группировки Наблюдаемая частота ni Ф(xi) Ф(xi 1) Вероятность pi попадания в i-й интервал Ожидаемая частота npi Слагаемые статистики Пирсона Ki
32.11 – 37.01 1 0.48 0.5 0.0198 0.99 0.0001
37.01 – 41.91 5 0.41 0.48 0.0679 3.4 0.76
41.91 – 46.81 6 0.25 0.41 0.16 7.83 0.43
46.81 – 51.71 12 0.012 0.25 0.24 11.99 0
51.71 – 56.61 11 0.24 0.012 0.22 11.19 0.003
56.61 – 61.51 10 0.4 0.24 0.16 8.2 0.4
61.51 – 66.41 5 0.47 0.4 0.0735 3.68 0.48
0 50 0 0 0 0 2.06

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K, тем сильнее довод против основной гипотезы.
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K; ∞).
Её границу K(k-r-1;α) находим по таблицам распределения «хи-квадрат» и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры x и s оценены по выборке).
Kkp = 9.5; Kнабл = 2.06
Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют

Пример №3. Для изучения явления проведена 5%-ная механическая выборка. Определить;

  1. по выборке:
    • среднее значение;
    • моду и медиану;
    • показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации;
  2. с вероятностью 0.954 пределы, в которых можно ожидать среднюю и долю более 1,5 лет;
  3. необходимую численность выборки при определении средней, чтобы с вероятностью 0.997 предельная ошибка выборки не превысила 3.

Принципы определения показателей вариации

Для ранжированного ряда показатели вариации определяются по простым формулам (например, средняя величина определяется по формуле средней арифметической простой). Для вариационных рядов показатели вариации определяются по агрегатным формулам (с использованием частот). В этом случае показатели вариации являются взвешенными (например, взвешенная средняя).

Группы работающих по величине заработка (руб. в месяц) Число работающих (чел.)
до 8000 6
от 8000 до 9000 10
от 9000 до 10000 14
и т.д.

Для определения среднего заработка величина первого (открытого) интервального варианта (если нет индивидуальных данных) принимается также равной 1000 руб.
при достаточно большом объеме изучаемой совокупности (n > 30) применяются формулы:
   (2) – среднее квадратическое отклонение простое (или невзвешенное);
 (3) – среднее квадратическое отклонение взвешенное, где:
– значения изучаемого признака (варианты);
n – объем статистической совокупности;
 – средняя арифметическая величина.

, ,
Поделиться
Похожие записи
Adblock detector